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【担保 信息】 贝尔函式

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[拼音]:Bei’er hanshu

[外文]:Baire function

在研究函式的连续性基础上产生的一类重要的函式。R.L.贝尔于1899年提出如下的函式分类方法:以区间[0,1]上的函式为例,[0,1]上的连续函式称为0类函式。0类函式序列点点收敛的极限函式,当它不是0类函式时,就称为1类函式。1类函式序列点点收敛的极限函式,如果不是0类或1类的函式时,便称为2类函式。依次对每一个自然数n,可以引入n类函式的概念。如果{ƒυ},v=1,2,…,ƒυ是nυ类函式,{nυ}是自然数列的子序列,{ƒυ}点点收敛于ƒ(x),当ƒ(x)不是任何n类函式(n是自然数),称ƒ(x)是ω类函式。如此再继续定义ω+1,ω+2,…类函式。用超限归纳法对一切序数η,都可以定义η类函式。 所有这些类的函式统称为贝尔函式,而贝尔函式的全体称为贝尔函式类。[0,1]上的狄利克雷函式D(x)(它在有理点上取值为1,无理点上取值为零)不是1类函式,但

,所以D(x)是2类函式。可以证明,当序数α<α1(α1是第一个不可列的序数)时,α类是不空的,但α1类是空集。另外,贝尔函式类的势(或基数)与[0,1]的势相等。但[0,1]上所有实函式的势大于[0,1]的势。因此定义在[0,1]上的函式中有很多不是贝尔函式。贝尔函式类的另一等价的定义是:包含连续函式全体且对点点收敛的极限运算封闭的最小函式类。

类似地,在n维空间与一般的拓扑空间也可引入贝尔函式类。

波莱尔集

深入讨论函式的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。设G、F分别表示 n维欧几里得空间Rn中开集、闭集全体。凡是能表示成G(或F)中一列集{An}的交

(或和

)的集的全体记为Gδ(或Fσ)。凡能表示成Gδ(或Fσ)中一列集{An} 的和

(或交

在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类。

贝尔函式与波莱尔可测函式

设ƒ是拓扑空间Χ上的实函式,如果对任何实数с,集{x│ƒ(x)<с}是波莱尔集,则称ƒ是Χ上的波莱尔可测函式。Χ上的贝尔函式都是Χ上的波莱尔可测函式。同样,设E是Χ的子集,如果E的特征函式IE(即在E上值为1,E的馀集上值为0的函式)是Χ上的贝尔函式,则称E是贝尔集。贝尔集都是波莱尔集。当Χ=Rn时,波莱尔可测函式(波莱尔可测集)都是贝尔函式(贝尔集)。

解析集

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